Определение. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает. Определение. Элементарные преобразования системы уравнений — это:
Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;
Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;
Прибавление к любому i-му уравнению любого j-то уравнения, умноженного на любое число.
Определение. Переменная xi называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений — является разрешенной. Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.
Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.
Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:
во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;
во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;
в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.
Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:
Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная xi входит с коэффициентом 1;
Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной xi в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной xi, и равносильную исходной;
Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;
Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n — число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.
В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:
Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;
Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа — получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.
Определение. Элементарные преобразования системы уравнений — это:
- Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;
- Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;
- Прибавление к любому i-му уравнению любого j-то уравнения, умноженного на любое число.
Определение. Переменная xi называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений — является разрешенной.Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.
Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.
Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:
Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:
В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:
Примеры решения матриц методом Гаусса:
Источники информации:
Павел Бердов. Уроки математики http://www.berdov.com/works/algebra/gauss/
Высшая математика для студентов http://www.cleverstudents.ru/solving_systems_Gauss_method.html
Полезные ресурсы:
Решение задач по математике онлайн http://www.reshmat.ru/Gauss.html?step=2&siz
eA=2&sizeB=2&a11=5&a12=-3&b1=4&a21=-3&a22=-5&b2=-21
Информационный портал http://e-maxx.ru/algo/linear_systems_gauss